论地理边界的科学属性与表达

论地理边界的科学属性与表达

汤国安, 李吉龙, 熊礼阳, 那嘉明

Scientific attributes and expression methods of geographical boundary

TANG Guoan, LI Jilong, XIONG Liyang, NA Jiaming

表1 常见的地理边界数学模型表达与对比

Tab. 1 Mathematical model representation and comparison of geographical boundaries

过渡属性	数学模型	表达原理	示意图	模型特点与划分方法
显性突变	势函数	根据突变理论,势函数 $V$ 定义为： $V = V (x, c)$ 式中： $x$ 为系统状态变量, $c$ 为外部控制变量。在地理边界的表达中,地理现象的过渡特征即为系统状态变量,而外部控制变量则表示主要划界指标。 (1) 当 $u \in R^{m}$ 且使 $\frac{\partial V (x, c)}{\partial x_{n}} \|_{u} = 0$ 时,称 $u$ 为势函数的临界点,所有临界点所构成的曲面称为平衡曲面; (2) 使势函数( $V$ )的Hessian矩阵 $\det H (V) = 0$ 的所有点的集合称为奇点集,与临界点方程联立求解后会得到分叉集。对于显性突变属性的地理边界,由势函数衍生出的平衡曲面与分叉集共同确定。		模型特点：适用有明显地理阻隔环境下的显性突变地理边界表达。划分方法：采用突变理论与突变级数法进行地物显著差异分析并定位。
模糊渐变	模糊集	模糊集通过构建模糊隶属函数计算隶属度的大小来确定划界单元的归属。已知论域 $U$ ,在其上做映射 $A$ ,则有： $\begin{array}{l} A : U \to [0,1], u \in U \\ u \to A (u), A (u) \in [0,1] \end{array}$ 式中：称映射 $A$ 是 $U$ 的一个模糊集, $A (u)$ 称为 $A$ 的隶属函数,即 $u$ 对 $A$ 的隶属度。在地理边界的表达中, $U$ 代表全部地理边界划分单元, $A (u)$ 的计算结果最终影响到某个划界单元 $u$ 的归属,进而确定地理边界的特征。		模型特点：更加自然表示地理现象,适用于模糊地理边界模糊划分。划分方法：通过构建模糊隶属度函数（根据专家知识、数据集特征给出）提取地物类型边界,建立模糊边界划分模型。
复杂交替	粗糙集	针对复杂交替特征的地理现象采用粗糙集进行边界表达： $\begin{array}{l} \bar{R} X = ⋃ \{u \in U \|{[u]}_{R} \subseteq X\} \\ \overset{̅}{R} X = ⋃ \{u \in U \|{[u]}_{R} ⋂ X \neq Φ\} \\ B N_{R} = \overset{̅}{R} X - \bar{R} X \end{array}$ 式中：论域 $U$ 代表全部的地理边界划分单元, $X$ 是其子集, $u$ 为待划分数据集, $\overset{̅}{R} X$ 和 $\bar{R} X$ 分别称为上近似集和下近似集, $B N_{R}$ 为边界域,即地理边界。		模型特点：完全由数据驱动,不涉及隶属函数的构造,在表达地理边界的特征上更加客观。划分方法：根据地物相关数据集,确定上下近似集,计算得到的边界域即为最终划定的地理边界（过渡带）。